2020年度弘前大学理系の入試問題を解いたので、振り返りと解法の確認をまとめておこうと思う。
「理系」とはいえ数物科学科数学選択者のみの問題ではなく、理工・医・教育学部の共通問題であることには注意だ。
解説という訳ではなく、あくまで自分用のまとめみたいなものだ。
各大問の詳細な解答・解説は別記事で行っているのでそちらを参考にしてもらいたい。
リンクは各大問の概評に貼ってある。
この記事はあくまで大問ごとの大きな基本方針を述べるに留める。その問いから学べることの言語化に注力している。
では、まずは問題から見ていこう。
問題
試験時間（目安）：90分
2020年度 弘前大学 前期日程 理学部 数学
[ https://nyushi.hirosaki-u.ac.jp/wp-content/uploads/2020/05/R2ze-su2.pdf ]
※上記URL：国立大学法人弘前大学HP 『過去の入試問題』ページより 令和２年度 前期 数学②ⅢB
※過去3年分が公式HP(下記URL)から閲覧できます。掲載終了している可能性もあります。
参考URL『国立大学法人弘前大学HP-過去問題-』
https://nyushi.hirosaki-u.ac.jp/faculty/previous-exams/
解くのを楽しみにしてる方は是非解いてみてほしい。
楽しめると思います。
では、解説していこう。
全体
先に問題形式などの確認をしておこう。
| 時間 | 90分 |
| 入試科目 | 数学Ⅰ・Ⅱ・Ⅲ・A・B |
| 出題形式 | 筆記 |
| 問題数 | 大問3つ |
次に概評。
問題の難易度としては易化しており、基本的な問題と言える。
GMARCHを受けるレベルの人は完答したい。
時間も90分と十分にあり、2、3周は解き直す時間がありそうだ。
時間が足りなかった人は「解法を思い付く時間が遅い」や「計算が遅い」等が考えられるがいずれにしても時間をかけすぎのように思う。
他大学の受験でも苦労してしまうため、もう少し速く計算ができるように、計算する際必ずタイマーで測るなどして練習を積んでいこう。
また、全体的に計算問題が多く、計算力がものをいう問題とも言える。
計算ミスがないような工夫や途中式を十分に書くなどして対策しておこう。
さて、それでは各大問の解説をしていこう。
大問1概評
大問4は定積分の計算と回転体の体積の問題だ。
難易度としては(1)、(2)ともに日東駒専〜GMARCHレベルだろうか。
GMARCH合格者の大多数が解けていることが予想される難易度だ。
斬新な発想は必要なく、基礎知識と計算力が求められている問題と言える。
全体的に日東駒専で扱わないような少し難易度高めの基本知識が求められるわけだが、それは弘前大学なら当然と言える。
弘前大学志望者であればここは確実に正解しておきたい。
解答・解説 → 「134話 2020 弘前大学 過去問大問1【解答解説】」
（1）定積分
今回問題を見て明らかなのが
- 平方根を含む
- 分数式
の形であることだ。
まずは平方根の処理からしよう。
平方根の基本処理は丸ごと置換することだ。
平方根の部分含めて丸ごと t とおこう。
これで平方根に関しては処理を終え、次に分数式の形を処理しよう。
分数式型の積分計算で考えたいのがlogをとる形か部分分数分解だ。
今回は部分分数分解で解いていけばよい。
部分分数分解によって得た分数式の形は迷わずlogを取ることで解答を得る。
（2）回転体の体積
回転体の体積を考えるにあたり、どこで囲まれた図形をx軸周りに回転させるのか図示して確認しよう。
図示して確認した後は基本通りに回転体の体積を求めよう。
大問2概評
大問2は関数についての問題だ。
難易度としては大問1同様標準的。
問題集に載ってそうな問題だ。
「接線のy切片」という設定だけ見慣れないが、方針決めは迷わないだろう。
関数も色々問題の出し方はあるが、接線の方程式と最大・最小はしっかり得点源にしたい問題だ。
解答・解説 → 「135話 2020 弘前大学 過去問大問2【解答解説】」
（1）接線の方程式
「接線のy切片」をf(a)としているため、まずは接線の方程式を求めよう。
接点が与えられているため、微分して公式代入で終了だ。
あとは接線のy切片をf(a)として答えよう。
（2）分数関数の最大・最小
(1)でf(a)が分数式であるから、分数式の最大・最小問題だ。
やることは決まっていて、
- 微分して
- f’(a)=0となるaの値を求めて
- 増減表かいて
- （左右方極限を調べて）
- グラフイメージして
- 最大・最小を求める
という手順だ。
これは分数関数に限らず、様々な関数においても同様だ。（定関数、1次関数、2次関数を除く）
大問3概評
大問3は数列とその和の問題だ。
難易度については大問1、2より難しいのではないだろうか。
大問1、2が易問でこれが例年の難易度くらいだろうか。
ここを解答できるかどうかが合否の差を分けそうだ。
あまり見慣れない形も見受けられるが、誘導は十分にあり、その誘導の通りに解いていくことが重要だ。
常に求めた後にそれを以降使うのではないかと考える姿勢を持っておきたい。
解答・解説 → 「136話 2020 弘前大学 過去問大問3【解答解説】」
（1）数学的帰納法
「すべての自然数n」に関しての証明では数学的帰納法が有効だ。
また、bnとanの関係式が与えられているため、bnをanに言い換えて証明することができる。
証明方法と方針が分かれば後はひたすらにペンを動かしていこう。
（2）漸化式
まずは問題文の通りに式変形をしよう。
anの漸化式が与えられているため、それを利用して漸化式を作成していく。
bnの逆数のを新たにcnとして定め、まずは一般項cnを求める。
{cn}の漸化式を作り終えると、特性方程式により一般項を得る形であることが分かる。
一般項cnを求めて、逆数をとって求められている数列を得よう。
そこから一般項bnを、bnとanの関係式から一般項anを求めよう。
（3）和が最大値をとる最大のn
この問題を見た時に一番違和感があるのは5001/1000という分数だろう。
ここでbk=ak-5であることと5001/1000が約5であることから解答のような式変形を考えた。
式変形後は数列の和ではなく、一般項の問題として扱おう。
最後に7nではなく7nであることには十分注意しよう。
さいごに
公式の模範解答はこちら
https://nyushi.hirosaki-u.ac.jp/wp-content/uploads/2020/05/R2ze-su2_kaitou.pdf
参考URL：国立大学法人弘前大学HP 『過去の入試問題』ページより令和２年度 前期 数学②ⅢB 解答例
全体を通してひたすらに計算をしていく問題。
計算がそこまで得意でない自分にとってはミスが怖くなる問題だった。
とはいえ、3回見直すくらい時間の余裕はあるため、何度も検算すればまぁ確信を得られる。
実際、自分は解いている時に大問2で計算ミスをしていたが、解き直しをしている時に気付き修正することができた。
なるべく一回で正答になるように精進していきます。
解いた方、お疲れ様でした。
これからも楽しんでいきましょう。
その他過去問を解く人はこちらから → 『特集 過去問振り返り まとめ』
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